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40009は、素数大富豪で出すことのできない最小の素数である。[1]素数大富豪で出すことのできない素数をエデンの園素数または非素数大富豪素数と呼ぶこともある。[2]

40009が素数大富豪で出すことのできない最小の素数であることの証明 編集

定理1:4桁以下の素数に含まれる0は高々2個である。

証明:1桁、2桁の場合は自明。3桁の場合は、百の位は0でないので十の位と一の位が0となるが、このような数は明らかに100の倍数であり、素数ではない。4桁の場合は、百、十、一の位が0となりえるが、一の位が0の場合は10の倍数となり素数ではない。したがって0は百の位と十の位にしか入らない。2つの桁に0が入る可能性があるので、4桁以下の素数に含まれる0は高々2個である。

定理2:4桁以下の素数はすべて素数大富豪素数である。

証明:各桁の数を表すカードを並べることにより、4桁以下の全ての数を出すことができる。使うカードは高々4枚なので、すべての桁が同じ数となってもそのカードが足りなくなることはない。また、定理1より0の数は最大2個なので、0のためのジョーカーが足りなくなることはなく、4桁以下の素数はすべて素数大富豪で出すことができる。素数大富豪で出すことができる素数は素数大富豪素数と呼ぶので、4桁以下の素数はすべて素数大富豪素数である。

定理3:同じ0以外の数字が5個並んだ5桁の数は、素数ではない。

証明:並ぶ数字をnとすると、nが5個並んだ数は10000n+1000n+100n+10n+nと表すことができ、11111nに等しい。n>2のときは11111nはnを約数に持つので、素数ではない。n=1のときは11111n=11111となり、11111は41*271と素因数分解できるので素数ではない。したがって、同じ0以外の数字が5個並んだ5桁の数は、素数ではない。

定理4:5桁の素数のうち素数大富豪素数でないものは、千、百と十の位が0であり、万の位が1でなく、一の位は1、3、7か9のうちのどれかである。

証明:各桁の数表すカードを並べることにより、5桁のほとんどの素数を出すことができるが、同じ数のカードを5枚必要とするものやジョーカーを3枚必要とするものは出すことができない。同じ数のカードを5枚必要とするものは、定理3より素数ではない。ジョーカーを3つ必要とするとはすなわち0を3つ含むということであり、万の位と一の位は0となりえないので、千、百と十の位は0となる。また、万の位が1であるものは、万の位と千の位を合わせて10のカードを使って出すことができるので、素数大富豪素数である。一の位が5や0である数は5の倍数、一の位が2、4、6か8である数は2の倍数であり、素数ではない。よって、5桁の素数のうち素数大富豪素数でないものは、千、百と十の位が0であり、万の位が1でなく、一の位は1、3、7か9のうちのどれかである。

5桁の数のうち、千、百と十の位が0であり、万の位が1でなく、一の位が1、3、7か9のうちのどれかであるような数の集合をSと定義する。Sの要素は、20001、20003、20007、20009、30001、30003、30007、30009、40001、40003、40007、40009、50001、50003、50007、50009、60001、60003、60007、60009、70001、70003、70007、70009、80001、80003、80007、80009、90001、90003、90007、90009である。

定理5:Sの要素である最小の素数は40009である。

証明:20001は3×59×113、20003は83×241、20007は3^4×13×19、20009は11×17×107、30001は19×1579、30003は3×73×137、30007は37×811、30009は3×7×1429、40001は13×17×181、40003は109×367、40007は11×3637と素因数分解できるため、すべて素数ではない。40009は素数である。よって、Sの要素である最小の素数は40009である。

定理6:素数大富豪で出すことのできない最小の素数は40009である。

証明:素数大富豪で出すことのできない最小の素数をpと置く。定理2より、p>10000である。また、定理4より、p<100000ならばp∈Sである。よって、Sの要素である最小の素数をpSと置くと、pSが存在するならばp=pSである。定理5よりpS=40009なので、p=40009である。したがって、素数大富豪で出すことのできない最小の素数は40009である。

関連項目 編集

出典 編集

  1. http://integers.hatenablog.com/entry/2016/02/21/235655
  2. http://nisei.hatenablog.com/entry/40009